直列と並列 合成抵抗とは

直列の場合は

$$R=R_1+R_2+…$$

を使い、並列の場合は

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+…$$

を使います。
直列と並列が組み合わさったときは、片方ずつ合成していきます。

(1)直列なので、

$$R=R_1+R_2\\
R=10+20\\
R=30$$

∴30Ω

(2)並列なので、

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\\
\frac{1}{R}=\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$
\frac{1}{R}=\frac{3}{20}\\
R=\frac{20}{3}$$

∴\(\frac{20}{3}\)Ω

(3)先に右側の並列を合成し、その後、直列の合成をします。
右側の2つの抵抗を合成することで、(1)のような形になり、直列の合成をすることができるようになります。

10Ωの抵抗をR₁、20Ωの抵抗をR₂、30Ωの抵抗をR₃とすると、右側の抵抗は

$$\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\\
\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$$
\frac{1}{R_{23}}=\frac{5}{60}\\
R_{23}=14$$

となり、あとは直列に合成するので、

$$R=R_1+R_{23}\\
R=10+14\\
R=24$$

となります。

∴24Ω

(4)先に上側の2つの抵抗を直列に合成し、(2)のような形にした後に並列の合成をします。

10Ωの抵抗をR₁、20Ωの抵抗をR₂、30Ωの抵抗をR₃とすると、上側の抵抗R₁₂は30Ωになるので、

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}\\
\frac{1}{R}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30}$$
\frac{1}{R}=\frac{2}{30}\\
R=15$$

∴15Ω

直列と並列の違いと特徴、合成抵抗、オームの法則を駆使して問題を解きます。
ポイントは

・全体に流れる電流とR₁に流れる電流は等しい。(R₁には分かれ道がないから)
・オームの法則で使うVは22Vとは限らない。どの抵抗かによってVは異なる。
・1周で22Vなので、R₁が何Vか分かればR₂とR₃のVも分かる。

です。

(1)まずは合成抵抗を求め、全体に流れる電流を求めましょう。

R₂とR₃は並列なので、

$$\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\\
\frac{1}{R_{23}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\\
\frac{1}{R_{23}}=\frac{5}{12}\\
R_{23}=2.4$$

次に、R₁とR₂₃を直列として合成すると、

$$R=R_1+R_{23}\\
R=2+2.4\\
R=4.4$$
全体の抵抗は4.4Ωとなります。

次に、オームの法則を使い、全体の抵抗と全体の電圧から、全体の電流を求めます。

$$V=RI\\
22=4.4×I\\
I=5$$

全体に流れる電流は5Aであり、R₁に流れる電流は全体の電流と等しいため、抵抗R₁に流れる電流も5Aになります。
∴5A

(2) (1)でR₁に流れる電流が求まったため、オームの法則を使いR₁の電圧を求めることができます。
R₁の電圧を求めるためには、R₁の抵抗値とR₁に流れる電流の強さをオームの法則に代入しましょう。

$$V=RI\\
V_1=R_1×I_1\\
V_1=2×5\\
V_1=10$$

R₁にかかる電圧が10Vということは、R₂とR₃にかかる電圧は12Vであると分かります。
この回路は1周で22Vなので、R₁が10Vということは、上のR₂を通っても下のR₃を通っても残りの12Vということになります。
∴12V

(3)全体の電流は5Aですが、R₂とR₃は2つに分かれているので、電流も2つに分かれてしまいます。
しかし、R₃の抵抗値とR₃の電圧が分かっているので、オームの法則を使ってR₃の電流を求めることができます。

$$V=RI\\

V_3=R_3×I_3\\

12=6×I_3\\
I_3=2$$

∴2A

R₂とR₃の抵抗値は4Ωと6Ωです。
4Ωと6Ωは2：3であり、電流も2：3で分かれるため、R₃に流れる電流は2Aであると分かります。
(R₃の方が抵抗値は大きいため、R₃の方が電流は流れにくい。)