誕生日のパラドックスとは

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科学よりも自分の感覚の方が正しい?


あなたは「自分の感覚は正しい」と考えていますか?



「数学や科学よりも自分の感覚の方が正しい」
「天気予報では週末雨の予報だが,晴れるような気がする。天気予報よりも自分の勘の方が的中率が高い」
「俺ってさ,インフルエンザ予防接種を打たない方がインフルになりにくいんだよね」
このようなことを考えたことはありますか?



数学や科学を盲目的に信じることは危険だと思いますが,実際に証明されている事実やデータや体系化されている学問については人間の感覚よりも数学や科学の方が正しい事があります。



今回は,感覚よりも数学が正しい例として誕生日のパラドックスというものについて分かりやすく解説していきます。



 

誕生日のパラドックスとは


あなたは,とある学校にある40人クラスの一員だとします。
このとき「クラス内で誰かしらの誕生日が同じである確率」は大体どれくらいだと思いますか?
注意してほしいのはあなたと同じ誕生日の人がいる確率ではなく誰かと誰か(自分を含めて)の誕生日が同じ確率であるということです。



大体どれくらいの確率になると思いますか?

クラスではなかったとしても,LINEやインスタの友だちを上から40人見たときに誰か同じ誕生日の人がいる確率でも構いません。



考えましたか?



答えはなんと約89.12%です。


自分の感覚は正しかったですか?
こんなに高いとは思ってもいなかったのではないでしょうか。



誕生日のパラドックスの確率の計算方法



計算方法は高校の数学A程度の内容で簡単に説明できます。

 
誕生日が同じである確率 = 1 – 誕生日が同じではない確率

と考えられるため,


2人の中で誰かしら誕生日が同じになる確率は

$$ 1 – \frac{365}{365} × \frac{364}{365} ≒ 0.27 \% $$

となり,


3人の中で誰かしら誕生日が同じになる確率は

$$ 1 – \frac{365}{365} × \frac{364}{365} × \frac{363}{365} ≒ 0.82 \% $$


4人の中で誰かしら誕生日が同じになる確率は

$$ 1 – \frac{365}{365} × \frac{364}{365} × \frac{363}{365} × \frac{362}{365} ≒ 1.64 \% $$

と表すことができます。



この計算をしていくと


23人の中で誰かしら誕生日が同じになる確率は

$$ 1 – \frac{365}{365} × \frac{364}{365} ・・・・・・× \frac{343}{365} × \frac{342}{365} ≒ 50.73 \% $$


40人の中で誰かしら誕生日が同じになる確率は

$$ 1 – \frac{365}{365} × \frac{364}{365} ・・・・・・× \frac{327}{365} × \frac{326}{365} ≒ 89.12 \% $$


となります。
なんと57人で約99.01%となるため,TwitterやInstagramのフォロワーを57人テキトーに選んだら誰かしら誕生日が同じである確率は99%となります。


なお,グラフにするとこのような形になります。
 


信じられないかもしれませんが,実際にExcel等でグラフを作成するとこのような形になります。

 

なぜパラドックスなのか


パラドックスとは矛盾という意味ですが誕生日のパラドックスは何も矛盾はしていません。
自分の感覚と結果が異なるので矛盾しているように感じるという意味でパラドックスという言葉が使われています。


また,自分と同じ誕生日の人がいる確率はこれほど高くないため自分と同じ誕生日の人がいる確率と混同して考えてしまうことが多いようです。あくまでも,誰かと誰かの誕生日が同じである確率です。


つまり,
「え!〇〇と△△は誕生日が同じなんだね!偶然ってすごい!」
ではないのです。誰も誕生日の同じ人がいないときの方が偶然ってすごいと感じるべきことなのです。



 

自分と同じ誕生日の人がいる確率の計算方法


ちなみに,自分と同じ誕生日の人がいる確率となると計算はかなり変わります。
40人(自分含む)の中で自分と同じ誕生日の人がいる確率は約10.39%です。こちらは自分の感覚と近い数値なのではないでしょうか。それとも,まだ高く感じるでしょうか。


一応こちらも解説すると


自分と同じ誕生日の人がいる確率 = 1 – 自分の誕生日以外の日に他の全員が生まれる確率

であるため,40人の場合は


$$ 1 – (\frac{365}{365})^{39} ≒ 10.39 \% $$


となります。

グラフにするとこのような形になります。


紫色の方のグラフが自分と同じ誕生日の人がいる確率になります。
先程のグラフとは形が変わっていますね。
また,365人いても自分と誕生日が同じな人のいる確率は100%にはなりません。


この計算は紛れもない事実であり,これからも一生変わりません。

「今まで自分と同じ誕生日の人と会ったことないんだよね」

本当ですか?
252人の人と会えば,自分と同じ誕生日の人のいる確率は50%を超えます。
839人の人と会えば,自分と同じ誕生日の人のいる確率は90%を超えます。

本当に会ったことがないのであれば,珍しいタイプです。

自分の感覚が正しいこともあれば,自分の感覚が間違っていることもあります。
数学や科学で証明されている誰が何と言おうと変わらない事実なのです。

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