鉛直面内での円運動

この問題のような振り子の運動は、物体が円運動していると考えることができます。

もし点Bで物体が静止しているのであれば、重力mgと張力Tの大きさは等しいですが、円運動している最中は物体に向心力がはたらいているため、張力の方が大きくなります。

よく勘違いしてしまうことなのですが、この円運動の向心力は張力ではありません。
物体にはたらく円運動の中心を向く力は、張力ではなく、張力と重力の合力と考えます。

複数の力がはたらいている場合、その合力を向心力として考えましょう。
あとは、向心力の式\(F=m\frac{v^2}{r}\)より、

$$T-mg=m\frac{v^2}{L}$$

と式を立てましょう。
あとは、点Bにおける物体の速さvを求めることで、張力Tを求めることができます。

鉛直面での円運動では、このように向心力の式を立て、速さvを代入することで問題を解くことができます。
また、速度vを求める方法は、エネルギー保存の法則を使う場合が非常に多いので、エネルギー保存の法則を使ってvを求め、向心力の式に代入するパターンばかりなので、慣れれば簡単に問題を解くことができます。

点Bの高さを基準面とすると、上図のように青い線の長さがLcosθになるため、点Aの高さはL-Lcosθになります。

エネルギー保存の法則より、

$$mg×(L-Lcosθ)=\frac{1}{2}mv^2\\
v^2=2g(L-Lcosθ)\\
v^2=2gL(1-cosθ)$$

となります。なお、代入する先がv²なので、平方根を考えずv²のままにしておきます。

$$T-mg=m\frac{v^2}{L}\\
T-mg=m\frac{2gL(1-cosθ)}{L}\\
T=2mg(1-cosθ)+mg\\
T=3mg-2mgcosθ\\
T=mg(3-2cosθ)$$

∴\(mg(3-2cosθ)\)

例題1で説明したように、鉛直面での円運動ではエネルギー保存の法則を使ってvを求め、向心力の式に代入するパターンばかりです。
まずはエネルギー保存の法則を使って、点Bでの速さを求めましょう。

(1)

上図のように、点Bの高さはr+rcosθになるため、エネルギー保存の法則を使うと

$$mgh=\frac{1}{2}mv^2+mg(r+rcosθ)\\
2gh=v^2+2gr(1+cosθ)\\
v^2=2gh-2gr(1+cosθ)\\
v=\sqrt{2gh-2gr(1+cosθ)}$$

∴\(\sqrt{2gh-2gr(1+cosθ)}\)

(2)物体が点Cまで円運動をするためには、点Cで物体が曲面から離れていなければ良いと考えます。つまり、垂直抗力が0以上ということです。

点Cでの力を図示すると、上図のようになります。
今回の向心力は、垂直抗力Nと重力mgの合力なので、

$$N+mg=m\frac{v^2}{r}$$

と式を立てることができます。
点Cでの速さは、(1)におけるθ＝0のときと考えればよいので、\(v=\sqrt{2gh-2gr(1+cos0)}\)、つまり、\(v=\sqrt{2gh-4gr}\)をつかいます。

$$N+mg=m\frac{v^2}{r}\\
N+mg=m\frac{2gh-4gr}{r}\\
N+mg=\frac{2mgh}{r}-4mg\\
N=\frac{2mgh}{r}-5mg$$

となり、垂直抗力Nが0以上のとき、物体はちょうど点Cまで到達することができるため、

$$\frac{2mgh}{r}-5mg≧0\\
h≧\frac{5}{2}r$$

∴\(h≧\frac{5}{2}r\)