高校物理

鉛直面内での円運動

鉛直面での円運動
この記事で学べる内容

鉛直面内での円運動について

前回の内容では,水平面上での円運動について例題として解きました。
ジェットコースターや振り子など,鉛直面で円運動をする問題も頻出です。

今回は,鉛直面での円運動についての問題を解きながら,わかりやすく簡単に解説していきます。

例題 鉛直面内での円運動と張力

例題1

下図のように,長さLの糸に繋がられた質量mの物体を,点Aで静かに離した。物体が点Bを通過したとき,物体にはたらく張力の大きさを求めなさい。ただし,重力加速度の大きさをgとする。

鉛直面での円運動例題
解答

この問題のような振り子の運動は,物体が円運動していると考えることができます。

鉛直面での円運動例題解答

もし点Bで物体が静止しているのであれば,重力mgと張力Tの大きさは等しいですが,円運動している最中は物体に向心力がはたらいているため,張力の方が大きくなります。

鉛直面での円運動例題解答2

よく勘違いしてしまうことなのですが,この円運動の向心力は張力ではありません。
物体にはたらく円運動の中心を向く力は,張力ではなく,張力と重力の合力と考えます。

複数の力がはたらいている場合,その合力を向心力として考えましょう。
あとは,向心力の式\(F=m\frac{v^2}{r}\)より,

$$T-mg=m\frac{v^2}{L}$$

と式を立てましょう。
あとは,点Bにおける物体の速さvを求めることで,張力Tを求めることができます。

鉛直面での円運動では,このように向心力の式を立て,速さvを代入することで問題を解くことができます。
また,速度vを求める方法は,エネルギー保存の法則を使う場合が非常に多いので,エネルギー保存の法則を使ってvを求め,向心力の式に代入するパターンばかりなので,慣れれば簡単に問題を解くことができます。

鉛直面での円運動例題解答3

点Bの高さを基準面とすると,上図のように青い線の長さがLcosθになるため,点Aの高さはL-Lcosθになります。

エネルギー保存の法則より,

$$mg×(L-Lcosθ)=\frac{1}{2}mv^2\\
v^2=2g(L-Lcosθ)\\
v^2=2gL(1-cosθ)$$

となります。なお,代入する先がv2なので,平方根を考えずv2のままにしておきます。

$$T-mg=m\frac{v^2}{L}\\
T-mg=m\frac{2gL(1-cosθ)}{L}\\
T=2mg(1-cosθ)+mg\\
T=3mg-2mgcosθ\\
T=mg(3-2cosθ)$$

∴\(mg(3-2cosθ)\)

 

例題2 鉛直面での円運動と垂直抗力

下図のように,高さhの点Aから質量mの物体を静かに転がしたところ,円形rの曲面内で円運動をした。重力加速度の大きさをgとするとき,以下の各問に答えなさい。
(1)点Bにおける物体の速さを求めなさい。
(2)物体が点Cまで円運動をするための,点Aの高さhの条件をrで表しなさい。

鉛直面での円運動問題
解答

例題1で説明したように,鉛直面での円運動ではエネルギー保存の法則を使ってvを求め,向心力の式に代入するパターンばかりです。
まずはエネルギー保存の法則を使って,点Bでの速さを求めましょう。

(1)

鉛直面での円運動問題解答

上図のように,点Bの高さはr+rcosθになるため,エネルギー保存の法則を使うと

$$mgh=\frac{1}{2}mv^2+mg(r+rcosθ)\\
2gh=v^2+2gr(1+cosθ)\\
v^2=2gh-2gr(1+cosθ)\\
v=\sqrt{2gh-2gr(1+cosθ)}$$

∴\(\sqrt{2gh-2gr(1+cosθ)}\)

(2)物体が点Cまで円運動をするためには,点Cで物体が曲面から離れていなければ良いと考えます。つまり,垂直抗力が0以上ということです。

鉛直面での円運動問題解答2

点Cでの力を図示すると,上図のようになります。
今回の向心力は,垂直抗力Nと重力mgの合力なので,

$$N+mg=m\frac{v^2}{r}$$

と式を立てることができます。
点Cでの速さは,(1)におけるθ=0のときと考えればよいので,\(v=\sqrt{2gh-2gr(1+cos0)}\),つまり,\(v=\sqrt{2gh-4gr}\)をつかいます。

$$N+mg=m\frac{v^2}{r}\\
N+mg=m\frac{2gh-4gr}{r}\\
N+mg=\frac{2mgh}{r}-4mg\\
N=\frac{2mgh}{r}-5mg$$

となり,垂直抗力Nが0以上のとき,物体はちょうど点Cまで到達することができるため,

$$\frac{2mgh}{r}-5mg≧0\\
h≧\frac{5}{2}r$$

∴\(h≧\frac{5}{2}r\)

まとめ

鉛直面での円運動ではエネルギー保存の法則を使ってvを求め,向心力の式に代入するパターンばかりです。
物理基礎の問題をしっかり復習し,エネルギー保存の法則の問題に慣れたあと,鉛直面での円運動の問題をどんどん解いていきましょう。

 

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