高校物理

定積モル比熱と定圧モル比熱

この記事で学べる内容

・モル比熱とは

・定積モル比熱とは

・定圧モル比熱とは

・マイヤーの関係とは

今回は,定積モル比熱とは何か,定圧モル比熱とは何かについて,わかりやすく簡単に解説していきます。

モル比熱(モル熱容量)とは

モル比熱

1molの気体の温度を1K(1℃)上げるのに必要な熱量のこと

モル比熱(モル熱容量)とは,1molの気体の温度を1K(1℃)上げるのに必要な熱量のこです。
比熱「1g」が「1mol」に変わったので,モル比熱(モル熱容量)といいます。

モル比熱をcとすると,物質量n[mol]を用いることで\(Q=ncΔT\)と表すことができるのですが,定積と定圧でモル比熱が異なるため,定積モル比熱を\(C_V\),定圧モル比熱を\(C_p\)として考えます。

モル比熱とは

定積モル比熱とは

定積モル比熱CV[J/(mol・K)]

定積変化の場合のモル比熱

$$Q=nC_VΔT$$

単原子分子理想気体のとき,\(C_V=\frac{3}{2}R\)であり,\(Q=\frac{3}{2}nRΔT\)

定積モル比熱とは,定積変化のときのモル比熱のことです。
定積モル比熱を\(C_V\)とすると,定積変化のとき\(Q=nC_VΔT\)となります。

単原子分子理想気体のとき\(ΔU=\frac{3}{2}nRΔT\)であり,定積変化では\(W=0\)なのと,\(Q=nC_VΔT\)であることから,

$$ΔU=Q+W\\
\frac{3}{2}nRΔT=nC_VΔT+0\\
C_V=\frac{3}{2}R$$

となります。
つまり,単原子分子理想気体のときは\(C_V=\frac{3}{2}R\),つまり\(Q=\frac{3}{2}nRΔT\)となります。

定圧モル比熱とは

定圧モル比熱Cp[J/(mol・K)]

定圧変化の場合のモル比熱

$$Q=nC_pΔT$$

単原子分子理想気体のとき,\(C_p=\frac{5}{2}R\)であり,\(Q=\frac{5}{2}nRΔT\)

定圧モル比熱とは,定圧変化のときのモル比熱のことです。
定圧モル比熱を\(C_P\)とすると,定圧変化のとき\(Q=nC_pΔT\)となります。

単原子分子理想気体のとき\(ΔU=\frac{3}{2}nRΔT\)であり,定圧変化では\(W=-pΔV\),つまり\(W=-nRΔT\)なのと,\(Q=nC_pΔT\)であることから,

$$ΔU=Q+W\\
\frac{3}{2}nRΔT =nC_pΔT-nRΔT \\
C_p=\frac{5}{2}R$$

となります。
つまり,単原子分子理想気体のときは\(C_p=\frac{5}{2}R\),つまり\(Q=\frac{5}{2}nRΔT\)となります。

マイヤーの関係とは

マイヤーの関係

$$C_p=C_V+R$$

定積モル比熱\(C_V=\frac{3}{2}R\)と定圧モル比熱\(C_p=\frac{5}{2}R\)より,\(C_p=C_V+R \)となり,これをマイヤーの関係といいます。

\(C_V=\frac{3}{2}R\)と\(C_p=\frac{5}{2}R\)は単原子分子理想気体のときしか使えませんが,単原子分子理想気体ではなくてもマイヤーの関係が成り立つことが知られています。

問題に\(C_V\)しか書いてなく,\(C_p\)が書いていない場合,マイヤーの関係を使って\(C_p\)を\(C_v+R\)とするときがたまにあります。

例題

例題1

物質量がn,絶対温度がT0,定積モル比熱をCVの理想気体がある。気体定数をRとするとき,次の各問に答えなさい。
(1)この気体の体積を一定に保ったまま,絶対温度をTまで上昇させた。内部エネルギーの変化ΔUを求めなさい。
(2)この気体の圧力を一定に保ったまま,絶対温度をTまで上昇させた。気体が外部にした仕事W’を求めなさい。

解答

まずは単原子分子理想気体かどうかを確認しましょう。今回は単原子分子理想気体ではないので,\(C_V=\frac{3}{2}R\),\(C_p=\frac{5}{2}R\)を使うことはできません。

次に,(1)と(2)が何変化なのかを確認しましょう。

(1)定積変化であるため,\(W=0\)を使うことができます。

内部エネルギーの変化ΔUを求めるために\(ΔU=\frac{3}{2}nRΔT\)を使いたいと思ってしまいますが,単原子分子理想気体ではないため使えません。今回は熱力学第一法則を使ってΔUを求めましょう。

また,定積変化\(Q=nC_VΔT\)も使います。

熱力学第一法則より

$$ΔU=Q+W\\
ΔU=nC_V×(T-T_0)$$

∴\(nC_V(T-T_0)\)

(2)定圧変化であるため\(W=-pΔV\),さらに,物質量が一定であるため,\(W=-nRΔT\)を使います。

$$W=-nRΔT\\
W=-nR(T-T_0)\\
W’=nR(T-T_0)$$

です。外部にした仕事W’なので,符号を変えましょう。

∴\(nR(T-T_0)\)

定圧モル比熱とマイヤーの関係を用いた別解

定圧モル比熱とマイヤーの関係を用いて問題を解くことができます。
定圧モル比熱を用いた\(Q=nC_pΔT\)を使いたいのですが,問題文に\(C_p\)がないため,マイヤーの関係\(C_p=C_V+R\)を用いることで,\(Q=n(C_V+R)ΔT\)とします。

熱力学第一法則より,

$$ΔU=Q+W\\
nC_V×(T-T_0)=n(C_V+R)×(T-T_0)+W\\
W=-nR(T-T_0)\\
W’=nR(T-T_0)$$

となります。
なお,内部エネルギーの変化ΔUはΔTのみで決定するため,(1)と同様に\(nC_V×(T-T_0)\)です。

まとめ

物理基礎で勉強した\(Q=mcΔT\)を質量mではなく物質量nで考えたのが,モル比熱です。
定積変化と定圧変化でモル比熱が異なるため,定積変化では\(Q=nC_VΔT\),定圧変化では\(Q=nC_pΔT\)とします。

また,単原子分子理想気体のときは\(C_V=\frac{3}{2}R\),\(C_p=\frac{5}{2}R\)です。

 

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