・モル比熱とは
・定積モル比熱とは
・定圧モル比熱とは
・マイヤーの関係とは
今回は,定積モル比熱とは何か,定圧モル比熱とは何かについて,わかりやすく簡単に解説していきます。
モル比熱(モル熱容量)とは
1molの気体の温度を1K(1℃)上げるのに必要な熱量のこと
モル比熱(モル熱容量)とは,1molの気体の温度を1K(1℃)上げるのに必要な熱量のことです。
比熱の「1g」が「1mol」に変わったので,モル比熱(モル熱容量)といいます。
モル比熱をcとすると,物質量n[mol]を用いることで\(Q=ncΔT\)と表すことができるのですが,定積と定圧でモル比熱が異なるため,定積モル比熱を\(C_V\),定圧モル比熱を\(C_p\)として考えます。

定積モル比熱とは
定積変化の場合のモル比熱
$$Q=nC_VΔT$$
単原子分子理想気体のとき,\(C_V=\frac{3}{2}R\)であり,\(Q=\frac{3}{2}nRΔT\)
定積モル比熱とは,定積変化のときのモル比熱のことです。
定積モル比熱を\(C_V\)とすると,定積変化のとき\(Q=nC_VΔT\)となります。
単原子分子理想気体のとき\(ΔU=\frac{3}{2}nRΔT\)であり,定積変化では\(W=0\)なのと,\(Q=nC_VΔT\)であることから,
$$ΔU=Q+W\\
\frac{3}{2}nRΔT=nC_VΔT+0\\
C_V=\frac{3}{2}R$$
となります。
つまり,単原子分子理想気体のときは\(C_V=\frac{3}{2}R\),つまり\(Q=\frac{3}{2}nRΔT\)となります。
定圧モル比熱とは
定圧変化の場合のモル比熱
$$Q=nC_pΔT$$
単原子分子理想気体のとき,\(C_p=\frac{5}{2}R\)であり,\(Q=\frac{5}{2}nRΔT\)
定圧モル比熱とは,定圧変化のときのモル比熱のことです。
定圧モル比熱を\(C_P\)とすると,定圧変化のとき\(Q=nC_pΔT\)となります。
単原子分子理想気体のとき\(ΔU=\frac{3}{2}nRΔT\)であり,定圧変化では\(W=-pΔV\),つまり\(W=-nRΔT\)なのと,\(Q=nC_pΔT\)であることから,
$$ΔU=Q+W\\
\frac{3}{2}nRΔT =nC_pΔT-nRΔT \\
C_p=\frac{5}{2}R$$
となります。
つまり,単原子分子理想気体のときは\(C_p=\frac{5}{2}R\),つまり\(Q=\frac{5}{2}nRΔT\)となります。
マイヤーの関係とは
$$C_p=C_V+R$$
定積モル比熱\(C_V=\frac{3}{2}R\)と定圧モル比熱\(C_p=\frac{5}{2}R\)より,\(C_p=C_V+R \)となり,これをマイヤーの関係といいます。
\(C_V=\frac{3}{2}R\)と\(C_p=\frac{5}{2}R\)は単原子分子理想気体のときしか使えませんが,単原子分子理想気体ではなくてもマイヤーの関係が成り立つことが知られています。
問題に\(C_V\)しか書いてなく,\(C_p\)が書いていない場合,マイヤーの関係を使って\(C_p\)を\(C_v+R\)とするときがたまにあります。
例題
例題1
物質量がn,絶対温度がT0,定積モル比熱をCVの理想気体がある。気体定数をRとするとき,次の各問に答えなさい。
(1)この気体の体積を一定に保ったまま,絶対温度をTまで上昇させた。内部エネルギーの変化ΔUを求めなさい。
(2)この気体の圧力を一定に保ったまま,絶対温度をTまで上昇させた。気体が外部にした仕事W’を求めなさい。
まとめ
物理基礎で勉強した\(Q=mcΔT\)を質量mではなく物質量nで考えたのが,モル比熱です。
定積変化と定圧変化でモル比熱が異なるため,定積変化では\(Q=nC_VΔT\),定圧変化では\(Q=nC_pΔT\)とします。
また,単原子分子理想気体のときは\(C_V=\frac{3}{2}R\),\(C_p=\frac{5}{2}R\)です。