運動量と力積とは

2021 8/04

2021-08-04

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この記事で学べる内容

・運動量とは

・力積とは

・運動量と力積の関係

運動量と力積、運動量保存則、反発係数の範囲ではボウリングのピンを倒したとき、車と車が衝突したときのような、「物体と物体が衝突したあと、どう運動するのか」について考えます。

今回は、その基礎でもある運動量と力積について、わかりやすく簡単に解説していきます。

運動量とは
力積
運動量と力積の関係
例題
- 例題1
まとめ

運動量とは

運動量p［kg・m/s］

質量と速度の積

物体の勢いを表す

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

運動量とは、質量と速度の積のことです。記号はp、単位は［kg・m/s］です。
イメージとしては、物体の勢いのようなものであり、式は$\vec{p}=m\vec{v}$と表します。
pという記号はあまり使わないので、原子の分野に入るまで忘れていても大丈夫です。

同じ速さでも、車とトラックだとトラックの方が”勢い”を強く感じます。
同じ車でも、速ければ速いほど、”勢い”を強く感じます。

このような量のことを、運動量と定義しましょう。

力積

力積I［N・s］

力と時間の積のこと

$$\vec{I}=\vec{F}Δt$$

力積とは、力と時間の積のことです。記号はI［N・s］を使うのですが、Iという記号を使う機会はほぼありません。
式は$\vec{I}=\vec{F}Δt$であり、同じ大きさの力であっても、力のはたらいている時間が長いほど、力積も大きくなります。

運動量と力積の関係

$$m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt$$

運動量と力積には、$m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt$という関係式が成り立ちます。

運動量の単位は［kg・m/s］であり、力積の単位は［N・s］です。
単位の説明でも話しましたが、［Ｎ］=［kg・m/s²］であるため、力積の［N・s］は［kg・m/s］となり、運動量の単位と一致します。
不思議な感覚かもしれませんが、質量と速度を掛けたものと、力と時間を掛けたものは単位が同じになるのです。

式の導出1

運動方程式$ma=F$は、$m×\frac{Δv}{Δt}=F$とすることができます。この式を、

$$m×\frac{Δv}{Δt}=F \\
mΔv=FΔt\\
mv’-mv=FΔt$$

と変形することで、式を導出することができます。

式の導出2

等加速度直線運動の式$v=v_0+at$から式を導出することもできます。両辺にmを掛けることで、

$$mv=mv_0+mat\\
mv-mv_0=mat\\
mv-mv_0=Ft$$

とすることができます。

例題

例題1

東向きに速さ20m/sで進んでいる質量0.20kgのボールがある。以下の問に答えなさい。
(1)このボールの運動量の大きさは何kg・m/sか。
(2)ボールをバットで打ち返したところ、ボールの速度は西向きに30m/sとなった。ボールの受けた力積はどちら向きに何N・ｓか。
(3) ボールをバットで打ち返したところ、ボールの速度は北向きに20m/sとなった。ボールの受けた力積はどちら向きに何N・ｓか。

解答

(1)運動量の大きさは$mv$なので、

$$mv=0.2×20\\
mv=4.0$$
∴4.0 N・m/s

(2)とりあえず図を描きましょう。