高校物理

運動量と力積とは

運動量と力積とは
この記事で学べる内容

運動量とは

力積とは

運動量と力積の関係

運動量と力積,運動量保存則,反発係数の範囲ではボウリングのピンを倒したとき,車と車が衝突したときのような,「物体と物体が衝突したあと,どう運動するのか」について考えます。

今回は,その基礎でもある運動量と力積について,わかりやすく簡単に解説していきます。

運動量とは

運動量p[kg・m/s]

質量と速度の積

物体の勢いを表す

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

運動量とは,質量と速度の積のことです。記号はp,単位は[kg・m/s]です。
イメージとしては,物体の勢いのようなものであり,式は\(\vec{p}=m\vec{v}\)と表します。
pという記号はあまり使わないので, 原子の分野に入るまで忘れていても大丈夫です。

運動量とは

同じ速さでも,車とトラックだとトラックの方が”勢い”を強く感じます。
同じ車でも,速ければ速いほど,”勢い”を強く感じます。

このような量のことを,運動量と定義しましょう。

力積

力積I[N・s]

力と時間の積のこと

$$\vec{I}=\vec{F}Δt$$

力積とは,力と時間の積のことです。記号はI[N・s]を使うのですが,Iという記号を使う機会はほぼありません。
式は\(\vec{I}=\vec{F}Δt\)であり,同じ大きさの力であっても,力のはたらいている時間が長いほど,力積も大きくなります。

力積とは

運動量と力積の関係

運動量と力積の関係

$$m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt$$

運動量と力積には,\(m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt\)という関係式が成り立ちます。

運動量の単位は[kg・m/s]であり,力積の単位は[N・s]です。
単位の説明でも話しましたが,[N]=[kg・m/s2]であるため,力積の[N・s]は[kg・m/s]となり,運動量の単位と一致します。
不思議な感覚かもしれませんが,質量と速度を掛けたものと,力と時間を掛けたものは単位が同じになるのです。

式の導出1

運動方程式\(ma=F\)は,\(m×\frac{Δv}{Δt}=F\)とすることができます。この式を,

$$m×\frac{Δv}{Δt}=F \\
mΔv=FΔt\\
mv’-mv=FΔt$$

と変形することで,式を導出することができます。

式の導出2

等加速度直線運動の式\(v=v_0+at\)から式を導出することもできます。両辺にmを掛けることで,

$$mv=mv_0+mat\\
mv-mv_0=mat\\
mv-mv_0=Ft$$

とすることができます。

例題

例題1

東向きに速さ20m/sで進んでいる質量0.20kgのボールがある。以下の問に答えなさい。
(1)このボールの運動量の大きさは何kg・m/sか。
(2)ボールをバットで打ち返したところ,ボールの速度は西向きに30m/sとなった。ボールの受けた力積はどちら向きに何N・sか。
(3) ボールをバットで打ち返したところ,ボールの速度は北向きに20m/sとなった。ボールの受けた力積はどちら向きに何N・sか。

解答

(1)運動量の大きさは\(mv\)なので,

$$mv=0.2×20\\
mv=4.0$$
∴4.0 N・m/s

(2)とりあえず図を描きましょう。

運動量と力積例題

運動量と力積の関係式は\(m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt\)です。後の速度が\(\vec{v’}\)であることと,一直線上のベクトルなので,正負に気を付けましょう。

東向きを正とすると,

$$m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt\\
0.20×(-30)-0.20×20=FΔt\\
-10=FΔt$$

∴西向きに10N・s

(3) (2)と同様,図を描きましょう。

運動量と力積解答2

東向きに飛んでいたボールが北向きに打ち返されました。
\(m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt\)はベクトルの引き算なので,相対速度同様,ベクトルの引き算を行います。

運動量と力積解答3

上図より,

$$FΔt=0.20×20×\sqrt{2}\\
FΔt =4\sqrt{2}$$

∴北西に\(4\sqrt{2}\) N・s

まとめ

運動量は質量と速度の積のことであり,力積は力と時間の積のことです。
運動量はmv,力積はFΔtと覚えておきましょう。

運動量と力積には\(m\vec{v’}- m\vec{v}= \vec{F}Δt\)という関係式があります。ベクトルの引き算であるため,相対速度と同様に,図を用いてベクトルの引き算を行いましょう。

 

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