水平投射と斜方投射とは

水平投射や斜方投射の問題を解くときは、水平方向と鉛直方向を分けて考えます。

水平投射は、水平方向が等速直線運動、鉛直方向が自由落下です。

(1)小球が地面に落ちるまでの時間を考えればよいので、鉛直方向を考えます。
鉛直方向は自由落下なので、19.6mの高さから小球を自由落下させる問題と同じです。

$$\begin{eqnarray}x&=&v_0t+\frac{1}{2}at^2\\
19.6&=&0+\frac{1}{2}×9.8×t^2\\
t^2&=&4\\
t&=&2\end{eqnarray}$$

∴2秒

(2) (1)より、小球が地面に達するのに2秒かかることが分かっているので、小球は2秒間進んだことになります。
水平方向は等速直線運動なので、単純に、速さ×時間が進んだ距離です。

$$x=14.7×2\\
x=29.4$$

∴29.4m

(3)地面に達したときの速さとは、水平方向でも鉛直方向でもなく、斜め方向の速さのことを指しています。
斜め方向の速さを求めるためには、地面に達したときの水平方向と鉛直方向の速さを求め、三平方の定理等を使えばよいです。

水平方向は等速直線運動なので、速さは14.7m/sのままです。
鉛直方向は自由落下なので、t=2秒を使って

$$v=v_0+at\\
v=0+9.8×2\\
v=19.6$$

と求めます。

あとは、14.7と19.6を用いて三平方の定理を使えばよいのですが、14.7と19.6はそれぞれ4.9×3と4.9×4であり、3：4：5の三角形であることが分かるので、

$$4.9×5=24.5$$

∴24.5m/s

斜方投射では、まず、初速度を水平方向と鉛直方向に分解します。

文字式のみの問題では、問題文にある文字のみを使って解答しなければいけません。
今回であれば、\(v_0\)、\(θ\)、\(g\)以外の文字は、解答に使えないので注意しましょう。

(1)最高点に達するまでにかかる時間を\(t_1\)とします。
\(t_1\)を求めるために鉛直方向のみを考えると鉛直投げ上げになるので、
「初速度\(v_0sinθ\)の物体を投げ上げたときの最高点までにかかる時間を求める」
という物理基礎の問題と同じになります。

$$v=v_0+at\\
0=v_0sinθ-gt_1\\
t_1=\frac{v_0sinθ}{g}$$

∴\(\frac{v_0sinθ}{g}\)

(2) (1)と同様、鉛直方向を考えます。
最高点の高さを\(h\)とすると

∴\(\frac{{v_0}^2{sinθ}^2}{2g}\)

(3) 斜方投射では、対称性を用いることで簡単に問題を解くことができます。

地面に達するまでにかかる時間を\(t_2\)とすると、\(t_2\)は\(t_1\)の2倍になるので、

$$\begin{eqnarray}t_2&=&t_1×2\\
t_2&=&\frac{v_0sinθ}{g}×2\\
t_2&=&\frac{2v_0sinθ}{g}\end{eqnarray}$$

∴\(\frac{2v_0sinθ}{g}\)

(4)水平到達距離を求めるためには、水平方向を考えます。
水平方向は等速直線運動なので、単純に、速さ×時間が距離となります。

水平到達距離を\(l\)とすると

$$\begin{eqnarray}l&=&v_0cosθ×t_2\\
l&=&v_0cosθ×\frac{2v_0sinθ}{g}\\
l&=&\frac{2v_0^2sinθcosθ}{g}\end{eqnarray}$$

∴\(\frac{2v_0^2sinθcosθ}{g}\)

(5) (4)で、水平到達距離が\(l=\frac{2v_0^2sinθcosθ}{g}\)であると分かりました。
初速度\(v_0\)が一定のとき、\(l\)が最大になるようなθの値は何か、という問題です。

この問題を解くためには、数Ⅱの三角関数の範囲で勉強する、加法定理を使わなければなりません。

$$sin2θ=2sinθcosθ$$

という公式を知っていますか？
この公式を使うことで、

$$\begin{eqnarray}l&=&\frac{2v_0^2sinθcosθ}{g}\\
l&=&\frac{v_0^2sin2θ}{g}\end{eqnarray}\\$$

とすることができます。

問題より\(v_0\)が一定であり、もちろん\(g\)も一定なので、\(sin2θ\)が最大になるようなθを求めます。

\(2θ=90°\)のときに\(sin2θ\)は最大値の1となるので、\(θ=45°\)となります。

∴45°

普通の斜方投射の問題、普通の自由落下の問題だと思い、(1)～(3)を解きましょう。

(1)

初速度の水平成分は\(v_0cosθ\)であり、水平方向は等速直線運動なので、

$$L=v_0cosθ×t\\
t=\frac{L}{v_0cosθ}$$

∴\(\frac{L}{v_0cosθ}\)

(2)(1)で求めたtを、\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)に代入します。
もちろん、鉛直方向は鉛直投げ上げであり、加速度が\(-g\)になることに注意しましょう。

∴\(Ltanθ-\frac{gL^2}{2{v_0}^2cos^2θ}\)

(3) (2)と同様、(1)で求めたtを、\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)に代入します。
物体Bは自由落下するため、初速度は0です。

$$\begin{eqnarray}x&=&v_0t+\frac{1}{2}at^2\\
x_B’&=&0+\frac{1}{2}×g×\frac{L^2}{{v_0}^2cos^2θ}\\
x_B’&=&\frac{gL^2}{2{v_0}^2cos^2θ}\end{eqnarray}$$

水平面からの高さを求めるため、上図のように考えると水平面からの高さは\(h-x_B’\)となり、

$$x_B=h-x_B’\\
x_B=h-\frac{gL^2}{2{v_0}^2cos^2θ}$$

∴\(h-\frac{gL^2}{2{v_0}^2cos^2θ}\)

(4)物体Aと物体Bが衝突するためには、(1)の時刻において、物体Aの高さと物体Bの高さが等しければ良いと考えます。

$$x_A=x_B$$

∴\(tanθ=\frac{h}{L}\)

\(tanθ=\frac{h}{L}\)で重力がないとき、物体Aは上図の赤線の向きに飛んでいきます。
このとき、物体Aは等速直線運動をするため、速さ×時間より、水平面からの高さは\(v_0sinθ×t\)となり、物体Bは自由落下するため、t秒で進む距離は上図の通り\(\frac{1}{2}gt^2\)となります。

この\(v_0sinθ×t\)と\(\frac{1}{2}gt^2\)は、等加速度直線運動の公式\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)と非常に似ていることに気づきましたか？
実際、上図の通り、重力がある場合の高さは\(v_0sinθ×t-\frac{1}{2}gt^2\)となり、上の2つと関りの深いことが明確です。

\(v_0sinθ×t-\frac{1}{2}gt^2\)は、等速直線運動しながら自由落下していると考えることができるため、\(taanθ=\frac{h}{L}\)(物体Bに向けて投げる)とき、物体Aと物体Bが衝突するのです。

物体Aが弾丸、物体Bが猿であるとします。
弾丸を発射すると、弾丸の発射と同時に、猿は発射音に驚いて自由落下してしまうと考えます。
このとき、猿の落下について深く考えずとも、猿をめがけて弾丸を発射することで、弾丸を猿に命中させることができます。
このような例から、上のような問題をモンキーハンティングといいます。